Tema 21: Resolución de problemas. Clases y métodos. Planificación, gestión de recursos, representación, interpretación y valoración de resultados. Estrategias de intervención educativa

INDICE

1. Introducción

2. Resolución de problemas

2.1. Problema y ejercicio

2.2. Estándares de resolución de problemas

3. Clases y métodos en la resolución de problemas

3.1. Enfoques y métodos

3.2. Clases de problemas

4. Planificación, gestión de los recursos, representación, interpretación y valoración de los resultados

4.1. Planificacion

4.2. Gestión de los recursos

4.3. Representacion

4.4. Interpretación y valoración de los resultados

5. Estrategias de intervención educativa

5.1. Estrategias y metodología

5.2. Marco curricular

6. Conclusiones

7. Bibliografia

1. Introducción

“Las matemáticas parecen dotar a uno de nuevo sentido” – Charles Darwin

La resolución de problemas es una parte integral de todo el aprendizaje matemático. En la resolución de problemas, los alumnos recurren a sus conocimientos, aprenden nociones matemáticas, adquieren formas de pensar, hábitos de constancia y curiosidad. Ademas implica muchas de las capacidades básicas: leer con capacidad de comprensión, reflexionar, establecer un plan de trabajo, comprobar la solución, comunicar los resultados,…

2. Resolución de problemas

2.1. Problema y ejercicio

Según Lester, un problema es “una situación que un individuo o un grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que le lleve a la solución”. Según Mayer los problemas tienen los siguientes componentes:

• Metas: Objetivos que se pretenden alcanzar en una situación determinada
• Datos: Elementos numéricos o la información verbal que necesita el discente para analizar y resolver la situación problema
• Restricciones: Factores que limitan el camino para lograr solucionar la situación planteada
• Métodos: Operaciones o procedimientos que deben aplicarse para alcanzar la solución

Un buen problema matemático debe presentar las siguientes caracteristicas:

• Favorecer el razonamiento matemático en situaciones funcionales y no las que sólo ejercitan al escolar en cálculos complicados
• Permitir al que lo resuelve descubrir, recolectar, organizar y estructurar hechos y no solo memorizar
• Tener un lenguaje claro (sin ambigüedades), y expresado en vocabulario corriente y preciso
• Ser original e interesante
• El grado de dificultad debe corresponder al desarrollo del educando;
• Proponer datos de situaciones reales
• No reducirse a soluciones que lleven sólo a la aplicación de operaciones numéricas. Puede ofrecer la oportunidad de localizar datos en tablas, gráficos, dibujos,…; que el problema no da, pero son necesarios para su solución
• Estar expresado de manera que despierte en el alumno el interés por hallar varias alternativas de solución, cuando estas existan
• Responder a los objetivos específicos de la programación

Los ejercicios, en cambio, no implican una actividad intensa de pensamiento para su resolución; generalmente tienen una sola solución. En otras palabras, son actividades de entrenamiento, de aplicación mecánica de contenidos.

Diferencias entre ejercicio y problema

EJERCICIO	PROBLEMA
1. Se ve claramente lo que hay que hacer 2. Su fin es la aplicación mecánica de los algoritmos 3. Se resuelven en un tiempo relativamente corto 4. No hay implicación emocional 5. Tienen una sola solución 6. Son abundantes en los libros de texto	1. Suponen un reto 2. Su fin es profundizar en los conocimientos y experiencias que se poseen 3. Requieren mas tiempo de resolución 4. Pueden suponer implicación emocional 5. Pueden tener una o mas soluciones 6. Son escasos en los libros de texto

2.2. Estándares de resolución de problemas

Según Dijkstra (1991), la resolución de problemas es un “proceso cognitivo de cierta complejidad que involucra conocimientos almacenados en la memoria a corto y a largo plazo”

Existen dos tendencias generales en los procesos de resolución de problemas:

• Resolución como habilidades generales: Consiste en adquirir estrategias generales de resolución y luego aplicarlas a cualquier tipo de problema.
• Resolución como proceso especifico: Consiste en la resolución de problemas y su enseñanza en las áreas y contextos específicos a los que hacen referencia.

Por otro lado, los programas de enseñanza de problemas deben capacitar a los alumnos para:

• Construir nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas
• Resolver problemas que surgen en el campo de las matemáticas y de otras áreas y contextos
• Generar situaciones de aprendizaje donde el alumno tenga un ambiente de apoyo y pueda adquirir confianza en sus habilidades.
• Enseñar una variedad de estrategias
• Enseñar a responsabilizarse y reflexionar sobre su trabajo.

3. Clases y métodos en la resolución de problemas

3.1. Enfoques y métodos

Aunque existen diferentes enfoques que podemos aplicar con la resolución de problemas en el aula, podemos destacar las aportaciones de Fernández Bravo :

Enfoque de metamodelos de J.A Fernández Bravo

Fernández Bravo y Barbarán enfocaron sus esfuerzos en estudiar los efectos de la invención de problemas en el aprendizaje de la matemática; y llegaron a estas conclusiones:

• La invención y reconstrucción de problemas favorece el rendimiento del alumnado en la adquisición de técnicas y estrategias para la resolución de problemas matemáticos.
• Genera una emoción positiva
• Las situaciones que se presentan de forma incompleta favorecen el aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos; el alumnado hace uso de procesos metacognitivos y es consciente de las relaciones que intervienen en su resolución.
• La invención de situaciones problemáticas permite al alumno descubrir el error y reconocerlo para evitarlo en la construcción de nuevos conocimientos.

Además identifican seis grandes causas en las dificultades ante la resolución de problemas:

• falta de razonamiento y creatividad para generar ideas
• falta de comprensión de la relación entre la pregunta y el enunciado
• falta de explicación entre la respuesta obtenida y la pregunta formulada
• falta de autocorrección y metacognición
• falta de análisis y síntesis
• falta de relación entre situaciones de la vida real y el conocimiento matemático.

A partir de estas dificultades, identifican 49 modelos de situaciones encaminadas a solucionar estas dificultades; y los agrupan en seis metamodelos. Los metamodelos son cada una de las distintas clases de “modelos de situaciones problemáticas” presentadas al alumnado; y permiten generar ideas válidas para la invención, reconstrucción y resolución de los problemas matemáticos. Son:

• Generativos
• De estructuración
• De enlaces
• Transformación
• Composición
• Interconexión

Entre los distintos métodos para la resolución de problemas encontramos:

Método de resolución de problemas de George Pólya

Este método se centra en el proceso de descubrimiento. Sus fases son:

1. Comprensión del problema: Leerlo las veces que sea necesario.
2. Concepción de un plan para abordar el problema
3. Ejecución del plan
4. Visión retrospectiva: Confirmar que el resultado es correcto

Método de resolución de problemas de Mason, Burton y Stacey

Sus fases son:

1. Abordaje: Responder a las preguntas qué sé, qué quiero y qué puedo usar
2. Ataque: Hacer conjeturas y justificarlas
3. Revisión: Implica la comprobación, reflexión y generalización del resultado (aplicar lo aprendido a otros problemas).

3.2. Clases de problemas

Los problemas matemáticos pueden clasificarse en:

Problemas aritméticos

Son los problemas que presentan datos en forma de cantidades,establecen entre ellos relaciones de tipo cuantitativo y necesitan la realización de operaciones aritméticas para su resolución. Las dificultades que pueden presentar son falta de comprensión del enunciado del problema, dificultad para determinar la estrategia adecuada, dificultad para captar el orden en que hay que realizar las operaciones y plantearlos si la solución es correcta y no.

Los problemas aritméticos se organizan en:

Problemas Aditivos y sustractivos (1º nivel)

• De cambio: Una cantidad inicial varia por una acción directa Ejemplo: Adrián tiene 9 cromos. Le dan 6. ¿Cuántos tiene ahora?
• De combinación: Relación existente entre un conjunto y dos subconjuntos disjuntos. Ejemplo: En un salón hay 7 mesas y 28 sillas. ¿Cuántos muebles hay en total?
• De comparación: Comparación entre dos conjuntos distintos disjuntos. Ejemplo: Juan tiene 12 años. Raúl tiene 3 años menos que Juan. ¿Cuántos años tiene?
• De igualación: Mezcla entre un problema de comparación y un problema de cambio. Ejemplo: La casa de Aurora tiene 15 ventanas; mi casa tiene 9. ¿Cuántas ventanas más debería haber en mi casa para que tuviera las mismas que la de Aurora?

PROBLEMAS DE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN (1º NIVEL)

• De reparto equitativo: Implican la repartición de una cantidad. Ejemplo: En una fiesta de cumpleaños hay 16 niños. Después de repartir una bolsa grande de caramelos entre todos los niños, ha cada uno le han correspondido 4 caramelos. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?
• Razón: Proporción simple directa entre dos cantidades. Ejemplo: Jorge gana 5 euros y Juan, 20. Si mañana, Jorge gana 10 euros ¿Cuanto ganara Juan?
• De comparar: Dos colecciones en las que la mayor contiene un numero exacto de veces a la menor. Ejemplo: Para comprar el regalo de su padre, Juan ha puesto 10 euros y Patricia ha puesto 3 veces más dinero que él. ¿Cuánto dinero ha puesto Patricia?
• Producto cartesiano: Composición cartesiana de dos colecciones. Ejemplo: En una cafetería ofrecen todos los domingos un desayuno combinado, con la condición de que siempre se elija una bebida y una pieza de panadería. Sabiendo que en esta cafetería se ofertan en total 5 bebidas diferentes, y que con las distintas piezas de panadería se pueden hacer 40 combinaciones de desayuno distintas. ¿Cuantas piezas de panadería hay?

PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE SEGUNDO NIVEL

• Combinados fraccionados: Aparecen varias preguntas encadenadas
• Combinados compactos: Son mas complejos que los anteriores y con una sola pregunta. A su vez se pueden clasificar en combinados puros (cuando los pasos intermedios para resolver el problema pertenecen todos al mismo campo operativo-conceptual), combinados mixtos (diferentes operaciones de distintos campos conceptuales), combinados directos (cuando los datos en el enunciado están dados en el mismo orden en que se deben ser utilizados) y combinados indirectos ( se deben reordenar los datos)

PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE TERCER NIVEL

Son los problemas en que los datos vienen dados en números decimales, fraccionarios o porcentuales.

• Problemas geométricos: Sus contenidos están relacionados con la geometría
• Problemas de razonamiento lógico: Criptogramas, sudokus, enigmas, de razonamiento verbal…
• Problemas de recuento sistemático: Tienen varias soluciones y se deben encontrar todas.
• Problemas de razonamiento inductivo: Son sobre propiedades numéricas y geométricas.
• Problemas de azar y probabilidad

También podemos encontrar problemas con los datos incompletos o con exceso de datos.

4. Planificación, gestión de los recursos, representación, interpretación y valoración de los resultados

4.1. Planificación

La planificación es una ayuda para la comprensión de un problema y para sugerir diferentes vías para alcanzar la solución del mismo. Debemos desarrollar estrategias que faciliten la escucha y/o lectura analítica dirigidas a facilitar la comprensión del problema como por ejemplo: verbalizar los pensamientos, decir lo mismo de otra forma (reformular), separar datos e incógnitas…

4.2. Gestión de los recursos

Debemos enseñar a los alumnos sobre la lectura analítica (identificar y separar las distintas partes del problema), y a reformular.

4.3. Representación

Implica la realización de esquemas gráficos a partir de datos. Estos datos pueden ser lineales, tabulares, ramificados y conjuntistas.

4.4. Interpretación y valoración de los resultados

Comprobar la solución encontrada mediante tanteo, ensayo y error, búsqueda de soluciones mediante pruebas sucesivas,…; para asegurar que el procedimiento, cálculos y resultados correctos.

5. Estrategias de intervención educativa

Mediante la resolución de problemas, los alumnos pueden experimentar la utilidad de las matemáticas. Su resolución implica muchas habilidades básicas: comprensión lectora, reflexión, planificación,…

Destacar que en primer curso de Primaria, los alumnos se inician en la lectura comprensiva como base para la resolución de problemas y a partir de segundo de Primaria se desarrolla esa capacidad. Mas tarde, a partir de 5º de Primaria los alumnos han interiorizado el proceso de resolución y son capaces de expresar de forma matemática sus razonamientos.

5.1. Estrategias y metodología

García (2002) quien reafirmó la importancia del uso de estrategias para la enseñanza de la resolución de problemas por parte del docente; señala algunas recomendaciones:

• Proponer a los alumnos problemas con diferentes tipos de contextos, es decir, plantear al estudiante situaciones distintas y variadas relacionadas tanto con experiencias de la vida real, tales como ideas ficticias, con el fin de despertar la curiosidad e interés de los estudiantes a través de la creatividad de las situaciones planteadas.
• Proponer problemas variados, en cuanto al número de soluciones, es decir, una solución, varias soluciones; sin solución. Es importante plantear diferentes tipos de problemas, con enunciados diversos en donde los estudiantes requieran utilizar procesos cognoscitivos para resolver cada situación y no caer en la rutina de presentar los mismos tipos de problemas que conllevan a un proceso de resolución mecánico y memorístico.
• Presentar problemas variados desde el punto de vista de la adecuación de los datos, es decir, usar datos completos, incompletos, superfluos, o presentar datos que sobran. Esta recomendación, obliga al estudiante a leer y entender el problema antes de comenzar a concebir el plan de resolución, pues debe saber primero cual de la información suministrada es realmente un insumo para alcanzar la solución.
• Poner el acento sobre los procesos de resolución y no solamente sobre los cálculos y las soluciones. Es decir, trabajar haciendo énfasis en los procesos desarrollados por los estudiantes más que en los resultados, pues al fin y al cabo es el proceso lo que va a transferir el estudiante cuando requiera enfrentarse a otra situación similar en el futuro.
• Animar a los estudiantes a comunicar oralmente o por escrito lo esencial del proceso de resolución de problemas. Para ello se recomienda pedir al estudiante que verbalice o escriba el proceso que siguió para resolver el problema, de esta manera el docente puede conocer (con las propias palabras de los alumnos) los procesos mentales y procedimientos que utilizaron para llegar a la solución, y al mismo tiempo se estaría valorando las propias estrategias de los estudiantes y ayudar a otros alumnos que tienen mayores dificultades en esta área.
• Diversificar las actividades de resolución de problemas, lo que requiere un enunciado y pedir cuál podría ser la pregunta del problema ante un conjunto de datos. En ella se pide elegir aquellos que encajan en la pregunta del problema. Dada la incógnita, se pregunta por los datos. Esto le permite al docente salir de la rutina y planificar con anticipación los enunciados de los problemas a trabajar en sus clases plantear situaciones diversas y variadas que permitan al estudiante a reflexionar, analizar y razonar, para concebir un plan que le permita obtener la solución de los problemas dados.

5.2. Marco curricular

En los distintos cursos aplicaremos metodología adaptada a los contenidos indicados en el decreto autonómico (mencionar los contenidos de tu comunidad autónoma).

(En el RD 984/2021 se indica en el apartado sobre los referentes de la evaluación lo siguiente: “La evaluación se llevará a cabo tomando como referentes los diferentes elementos del currículo que se recogen en el Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria…”.)

6. Conclusiones

Para finalizar, recordar que los contenidos matemáticos tienen carácter constructivista. Esto quiere decir, que para la resolución de problemas el discente debe tener una base de conocimientos matemáticos previos que le permitan adquirir nuevos conceptos, procedimientos y actitudes; sin olvidar la comprensión escrita.

Para saber más sobre resolución de problemas, te recomiendo el artículo sobre problemas aditivos y multiplicaciones y las estrategias cognitivas.

7. Bibliografia

• Chamorro, M. C.: Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Pearson. Madrid, 2003
• Muñoz, Victoria. Manual de Psicología del Desarrollo aplicada a la Educación. Pirámide. Sevilla, 2011
• https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/3897810.pdf
• http://www.grupomayeutica.com/documentos/metamodelos.pdf
• https://www.researchgate.net/publication/327231206_Impacto_de_la_invencion_de_problemas_matematicos_en_la_metacognicion

Marco legal

• Ley Orgánica 2/2006 de 3 de Mayo de Educación (LOE)
• Ley Orgánica 3/2020 de 29 de Diciembre por la que se modifica la LOE (LOMLOE)
• RD 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.
• RD autonómico en el que se regula el currículo de Primaria

Para completar la información de este tema, te recomiendo el siguiente artículo:

• Problemas aditivos y multiplicativos: Estrategias cognitivas