Tema 22: El aprendizaje de los números y el calculo numérico. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales. Sistemas de numeración. Relación entre los números. Operaciones de calculo y procedimientos del mismo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora). Intervención educativa

INDICE

1.Introduccion

2. El aprendizaje de los números y el calculo numérico

2.1. Números naturales

2.2. Números enteros

2.3. Números fraccionarios

2.4. Números decimales

3. Sistemas de numeracion

4. Relación entre los números

5. Operaciones de calculo y procedimientos del mismo (calculo escrito, mental, estimación y calculadora)

5.1. Calculo escrito

5.2. Calculo mental

5.3. Estimación

5.4. Calculadora

6. Intervención educativa

7. Conclusiones

8. Bibliografia

1. Introducción

“La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas simples” – S. Gudder.

El aprendizaje de la aritmética y las matemáticas en general, se han convertido frecuentemente en una asignatura con enormes dificultades para superar. Hay principios y conceptos que en ocasiones llegan a comprenderse completamente en la edad adulta. Todo esto puede llegar a ocasionar el fracaso escolar y el rechazo hacia las matemáticas.

El maestro al enseñar matemáticas debe considerar que estos contenidos son una creación humana basadas en abstracciones, y que solo pueden abordarse en la infancia con situaciones concretas de la vida cotidiana y cercanas al ambiente del niño.

Respecto a la aritmética, debemos considerar que antes de enseñar el concepto de algoritmo ( conjunto ordenado de operaciones sistemáticas que permite hacer un cálculo y hallar la solución de un tipo de problemas), que el alumno debe haber adquirido los siguientes aspectos:

• Concepto de número
• Correspondencia uno a uno
• La combinación de números y su valor posicional

2. El aprendizaje de los números y el calculo numérico

Los números son el concepto que subyace en todo proceso de medición, ordenación, operación y comparación de magnitudes. Por lo tanto, el cálculo numérico se define como el conjunto de operaciones y procedimientos para operar con los números.

Una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto.

Los conjuntos de números son:

• Números naturales: Surgen ante la necesidad para poder contar o enumerar elementos.
• Números enteros: Surgieron ante las relaciones de débito y comercio. Otros de usos de estos números son para el tiempo, la temperatura,..; y para la resolución de ecuaciones cuya solución escapa de los números naturales.
• Números racionales o fraccionarios: Surgen ante la necesidad de la partición de un total en partes iguales y para cálculos porcentuales.
• Números decimales: Surgen debido a criterios de medición y cálculo de magnitudes escalares y dar explicación a determinados números como π = 3,1415…
• Números primos: Son los números naturales que únicamente son divisibles por 1 y por si mismos
• Números negativos: Son los números enteros que están por debajo del 0.

2.1. Números naturales

Al conjunto de números naturales se le designa con la letra N y esta compuesto por 1, 2, 3, 4…; por lo que es un conjunto infinito pero con un primer elemento, el uno. Este conjunto sirve para contar y ordenar elementos. Sus operaciones son:

Suma

La suma es la unión de los elementos de dos o mas conjuntos. Las propiedades de la suma son:

• Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
• Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a
• Conmutativa: a + b = b + a
• Cancelativa: a + c = b + c entonces a = b

Multiplicación

La multiplicación consiste en calcular el resultado (producto) de sumar un mismo numero tantas veces como indica otro numero. Sus propiedades son:

• Asociativa: a x (b x c) = ( a x b) x c
• Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a
• Conmutativa: a x b = b x a
• Cancelativa: a x c = b x c entonces a = b
• Distributiva respecto a la suma: a x ( b + c) = a x b + a x c

Potencia

Es una multiplicación reiterada donde “a” y “n” son números naturales y “a” indica el numero que se multiplica y el “n” el número de veces que se multiplica “a”. Por ejemplo
5² = 5 x 5 =25. Sus propiedades son:

• 2³ x 2³ x 2³ x 2³ = 2^3+3+3+3  = 2 ^3×4  = 2¹²
• Un número elevado a 0 es igual a 1
• Un número elevado a 1, es igual a ese mismo número
• (2³)⁵ = 2^3.5 = 2¹⁵
• Siendo “n” mayor o igual a “m”, a ⁿ : a ^m = a ^n -m

Raíz

Es la operación inversa de la potencia

Resta

Es la operación inversa de la suma. No tiene propiedad conmutativa ni asociativa.

División

Es la operación inversa de la multiplicación, siempre y cuando el resto de 0. Consiste en repartir un número finito las partes de un todo. Sus propiedades son:

• Si el resto es 0, se llama división exacta. Y si es un número distinto de 0, división inexacta.
• m : n = p y resto “a”, entonces ( m x b) : ( n x b) = p y el resto es “a x b”.

Múltiplo Común Divisor y mínimo común múltiplo

El Múltiplo Común Divisor y M.C.D. es el producto de los factores primos comunes con el menor exponente de dos pares de números.

El mínimo común múltiplo o m.c.m. es el producto de todos los factores primos al mayor exponente.

2.2. Números enteros

Es el conjunto de números naturales, el 0 y los números negativos. Se designa con la letra Z. Sus operaciones son:

Suma y resta

Si tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos (la distancia de un numero al 0 en la recta numerica) y se pone el mismo signo. Si no son iguales, se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. Tienen las mismas propiedades que los numeros naturales, excepto el elemento simetrico u opuesto (cantidad que sumado a un numero da 0)

Multiplicacion

Si son del mismo signo se multiplican y se pone el signo positivo. Si son de distinto signo, el resultado sera negativo. Sus propiedades son las mismas que la multiplicacion de numeros naturales.

Potencias

Sigue la misma regla que la multiplicacion

Division

Solo es posible con numeros exactos.

2.3. Números fraccionarios

Un numero racional es todo numero que puede representarse como el cociente de dos numeros enteros, sin incluir el 0.

Una fracción es un par de números enteros donde el segundo termino (denominador) divide al primer termino (numerador). A este conjunto se le designa con la letra Q.

Los tipos de fracciones son:

• Fracción irreducible
• Fracción propia: Cuando el numerador es menor que el denominador
• Fracción impropia: Cuando el numerador es mayor o igual al denominador.
• Fracción positiva: Cuando al multiplicar numerador y denominador el resultado es mayor de 0
• Fracción negativa: Al multiplicar numerador y denominador el resultado es menor de 0.
• Fracción nula: El numerador es igual a 0.
• Fracciones equivalentes: a/b = c/d si a x d = b x c

Operaciones con numeros fraccionarios

• Suma y resta: Con igual denominador, se suman y restan sus numeradores. Con distinto denominador, se reduce primero a común denominador.
• Multiplicación: Se multiplican los numeradores por un lado y los denominadores por otro.
• Potencias y raíces: √ 7 = 7^1/2
• División: a/b : c/d= a x d / b x c
• Representación en la recta numérica: Dividimos cada unidad en tantas partes como indique el denominador y contamos desde el cero tantas partes iguales como indique el numerador.

2.4. Números decimales

Un numero decimal es la expresión de números no enteros, escribiendo un numero fraccionario como la aproximación al valor de su cociente. A este conjunto se le designa con la letra R.

Tipos de numeros decimales

• Decimales exactos: Tienen un numero finito de decimales. Ejemplo: 2,5
• Decimales periodicos puros: Tiene un numero infinito de decimales despues de la coma. Ejemplo: 7,5555…
• Decimales periodicos mixtos: Tiene un numero infinito de decimales no inmediatamente despues de la coma. Ejemplo: 6,83333…
• Decimales no exactos ni periodicos: Ejemplo: 3,1415….

Operaciones con decimales

• Suma y resta: Cada cifra se calcula con su unidad correspondiente, es decir unidades con unidades, decimad con decimas…
• Multiplicacion: Multiplicamos normalmente y colocamos la coma decimal a la izquierda de tantos numeros decimales como halla en el multiplicador y multiplicando.
• Division:
• Potencias y raices

3. Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y signos que se emplean para expresar todos los números usando un numero finito de símbolos. Los signos representan unidades y grupos de unidades. Así cualquier cantidad se representa mediante combinaciones de los signos . Nuestro sistema de numeración (decimal) es de base 10 porque tiene 10 símbolos para representar todos los números.

Tipos de sistemas de numeracion

• Aditivos: Son los sistemas que suman símbolos como el egipcio
• Multiplicativos: Por ejemplo en el francés para decir 80 es quatre-vingt, que traducido literalmente es cuatro- veinte (4 x 20 = 80)
• Posicionales: Donde la posición del numero indica su valor (unidades, decenas, centenas,…)
• Mixtos: Combinación de los anteriores como por ejemplo los números romanos
• Sexagesimal: Aquel cuya base es 60 como las unidades de tiempo (60 minutos, 60 segundos…) , la medida de los ángulos,…

Para cambiar de sistema de numeracion debemos dividir reiteradamente entre el numero de la base del sistema y tomar los restos.

4. Relación entre los números

Los distintos tipos de números se relacionan de acuerdo al siguiente gráfico:

5. Operaciones de calculo y procedimientos del mismo (calculo escrito, mental, estimación y calculadora)

5.1. Calculo escrito

Al momento de calcular hay que seguir una jerarquía u orden operacional, con el fin de saber por donde comenzar a calcular en las operaciones combinadas. Como ayuda a la hora de operar también se recurre al uso de los paréntesis y corchetes.

Orden de las operaciones matematicas

1. Parentesis y corchetes
2. Potencias y raices
3. Productos y divisiones
4. Sumas y restas

Etapas en el aprendizaje de las operaciones

El niño en su aprendizaje de las operaciones pasa por 4 etapas, tal y como indica Gaston Mialaret (1986):

• Fase de la acción real: La operación manual precede siempre a la operación aritmética. Las acciones de juntar, separar, repartir,… son de gran importancia para representar estas acciones en una operación aritmética.
• Acción real acompañada de lenguaje: Describiendo las acciones que realiza el alumno, se aprende el vocabulario elemental de las operaciones básicas de aritmética.
• Descripción verbal sin el soporte de la acción (metacognición): Consiste en narrar las diferentes acciones ejecutadas sin presencia del material.

• Acción real con objetos simples no figurativos: Usando fichas u otro material no figurativo el niño pasa de la acción concreta a un mayor nivel de abstracción
• Traducción gráfica: Consiste en dibujar la acción matemática realizada.
• Traducción simbólica: Traducir en símbolos (números y signos matemáticos) la acción realizada, e incluso su operación inversa.

5.2. Calculo mental

Consiste en realizar cálculos matemáticos usando solo la capacidad mental. En el RD 126/2014 del 28 de febrero por el que se establece el currículo de Primaria, en el bloque 1. Números y operaciones aparecen los contenidos sobre calculo mental.

Tipos de calculo mental

• Calculo mecánico: Es el calculo que se aprende de memoria como las tablas de multiplicar.
• Calculo reflexivo: Es el aprendizaje de determinadas estrategias o “trucos”.

5.3. Estimación

La estimacion, aproximacion o redondeo es acercar un numero a otro mas proximo. Esta destreza permite verificar si el resultado exacto es del orden de magnitud correcta y determinar si la respuesta es razonable o no.

Tipos de estimacion

• Aproximación por cifras significativas: 6,54 – 6,5
• Redondeo: 1,45 – 1,5
• Estimación de raíces: Puede ser por defecto o exceso.
• Aproximación mediante notación científica: 1,495 x 10⁵

5.4. Calculadora

La enseñanza del uso de la calculadora es uno de los contenidos a desarrollar en Primaria, tal y como se indican en el RD 126/2014.

6. Intervención educativa

Al enseñar los contenidos matematicos seguiremos esta secuencia:

• Numeración: En primer lugar, trabajaremos aspectos relacionados con conteos, series, descomposición numérica, ordenación, lectura y escritura de cifras y números,…; con el fin de que el niño se familiarice con la secuencia numérica.
• Operaciones y estrategias: Comenzaremos con materiales manipulativos para que los niños aprendan los conceptos de adicción, sustracción,…, antes de pasar a la parte escrita y al calculo mental. El docente debe guiar al alumno a través de los distintos ejercicios para que el mismo descubra estrategias o trucos matemáticos.
• Problemas: Los problemas deben ser adecuados a su nivel de aprendizaje y desarrollo; y relacionados con el ambiente sociocultural del niño.

Para la enseñanza de los conceptos y procedimientos de este area podemos recurrir a distintos materiales:

• Regletas
• Cubos encajables
• Regletas retroproyectables
• Abaco
• Cartas numericas
• Llaves de aprendizaje
• Juegos de mesa como el parchis, la oca,…
• Domino matematico
• Tabla de fracciones
• Circulo de fracciones
• Suma 15
• El juego del 11
• Murales, carteles y posters
• Videos didacticos
• Juegos en el ordenador y otras de las TIC

7. Conclusiones

Aunque existen diversos autores que han escrito sobre la enseñanza de la aritmética, todos ellos coinciden en que el aspecto de abstracción de los conceptos matemáticos, la importancia del desarrollo psicoevolutivo del niño, el uso de materiales y recursos manipulativos para facilitar el aprendizaje, y la importancia de establecer relaciones con el ambiente sociocultural del niño.

Aunque los contenidos de este tema son extensos, hemos intentado resumirlos de forma general, destacando los aspectos mas importantes.

8. Bibliografia

• Chamoro, M. C.: Didáctica de las Matemáticas para Primaria. Pearson. Madrid, 2003
• Muñoz, Victoria. Manual de Psicología del Desarrollo aplicada a la Educación. Pirámide. Sevilla, 2011

Marco legal

• Ley Orgánica 2/2006 de 3 de Mayo de Educación (LOE)
• Ley Orgánica 3/2020 de 29 de Diciembre por la que se modifica la LOE (LOMLOE)
• RD 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria.
• RD autonómico en el que se regula el currículo de Primaria

Para completar la información de este tema, te recomiendo los siguientes artículos:

• Como enseñar el sistema de numeración decimal
• Como enseñar un número concreto
• Metodo ABN para enseñar matemáticas