La resolución de problemas es un contenido prioritario en el área de Matemáticas. No solo como el medio para acceder y asimilar los contenidos, sino también como un instrumento para interpretar la realidad y desarrollar distintas habilidades cognitivas y metacognitivas.

¿Que es un problema matemático?

Un problema es una situación difícil para la que se requiere una solución que no es evidente a primera vista. Los problemas están compuestos por metas, datos, restricciones y métodos.

Características de un buen problema matemático

  • Plantea cuestiones que permiten desarrollar el razonamiento matemático en situaciones funcionales y reales
  • Permite descubrir, recolectar, organizar y estructurar hechos, además de memorizar
  • Tiene un lenguaje claro y preciso
  • Es original e interesante
  • Su grado de dificultad está de acuerdo a la persona a la que se dirige
  • Responde a los objetivos y contenidos planificados.

Tipos de problemas matemáticos

Existen diversas clasificaciones de los problemas matemáticos pero dado que en la etapa de Primaria los principales tipos de problemas están relacionados con las operaciones aritméticas, en este artículo me centraré en éstos. Más adelante encontrarás un enlace que amplia la clasificación de los problemas.

En primer lugar, los problemas pueden ser de una etapa o de más de una etapa. Evidentemente al enseñar matemáticas debemos establecer una secuencia progresiva en la dificultad de los mismos.

En función del tipo de operación aritmética implicada, los problemas se clasifican en problemas de estructura aditiva y multiplicativa. A su vez según la cuestión que se quiere averiguar pueden tener diversas clasificaciones.

Problemas de estructura aditiva o problemas aditivos

Son problemas que implican sumas y/o restas. A su vez, según su estructura semántica estos problemas se clasifican en:

Problemas de cambio

En este tipo de problemas una cantidad inicial es sometida a una acción explicita o implícita que la modifica y pueden resolverse juntando o separando objetos. En este tipo de problemas distinguimos tres momentos (antes, durante y después del cambio) e intervienen tres cantidades (inicial, final y de cambio).

Al mismo tiempo, dependiendo del tipo de cambio (crecer o decrecer) y de la incógnita distinguimos seis tipos de problemas de cambio.

  • De cantidad final y crecer: Isabel tiene 6 canicas. Pedro le da 3 canicas ¿Cuantas canicas tiene ahora Isabel?
  • De cantidad final y decrecer: Isabel tiene 9 canicas. Le da 4 canicas a Pedro ¿Cuantas canicas tiene ahora?
  • De cantidad de cambio y crecer: Isabel tiene 7 canicas. Pedro le da algunas canicas más y ahora tiene 12 canicas. ¿Cuantas canicas le dio Pedro?
  • De cantidad de cambio y decrecer: Isabel tiene 12 canicas. Le dio algunas a Pedro y le quedan 8 canicas. ¿Cuantas canicas le ha dado a Pedro?
  • De cantidad inicial y crecer: Isabel tenia algunas canicas. Pedro le dio 4 canicas. Ahora Isabel tiene 11 canicas. ¿Cuantas tenía al principio?
  • De cantidad inicial y decrecer: Isabel tenia algunas canicas. Le ha dado 4 canicas a Pedro. ¿Cuantas tenía al principio?

Problemas de combinación

En estos problemas se describe una relación entre conjuntos del tipo parte – parte o parte – todo. Distinguimos dos tipos de problemas:

  • Del todo: Isabel tiene 7 canicas rojas y 4 canicas verdes ¿Cuantas canicas tiene en total?
  • De una de las partes: Isabel tiene 11 canicas , 7 rojas y el resto verdes. ¿Cuantas canicas verdes tiene?

Problemas de comparación

problemas matemáticos
Números

Son problemas que presentan una relación de comparación entre dos cantidades sin que exista ningún tipo de acción. Las tres cantidades implicadas se denominan cantidad de referencia, cantidad comparada y diferencia. La relación de comparación puede ser “mas que” o “menos que”; dando a seis tipos de problemas de comparación.

  • La diferencia y “mas que”: Isabel tiene 11 canicas y Pedro tiene 4. ¿Cuantas canicas tiene Isabel más que Pedro?
  • La diferencia y “menos que”: Siguiendo el ejemplo anterior, la pregunta varía a ¿Cuantas canicas tiene Pedro menos que Isabel?
  • La cantidad comparada y “más que”: Isabel tiene 5 canicas. Pedro tiene 4 canicas más que Isabel. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?
  • La cantidad comparada y “menos que”: Isabel tiene 11 canicas. Pedro tiene 4 canicas menos que Isabel. ¿Cuántas canicas tiene Pedro?
  • La cantidad de referencia y “más que”: Isabel tiene 11 canicas. Si Isabel tiene 7 canicas más que Pedro. ¿Cuantas canicas tiene Pedro?
  • La cantidad de referencia y “menos que”: Pedro tiene 4 canicas. Si Pedro tiene 7 canicas menos que Isabel. ¿Cuantas canicas tiene Isabel?

Problemas de igualación

Son problemas que contienen elementos de los problemas de comparación y cambio. Distinguimos seis tipos de problemas de igualación:

  • La diferencia y crecer: Isabel tiene 11 canicas y Pedro tiene 4 canicas. ¿Cuantas canicas tiene que ganar Pedro para tener tantas como Isabel?
  • La diferencia y decrecer: Siguiendo el ejemplo anterior la pregunta varía a ¿Cuantas canicas tiene que perder Isabel para tener tantas como Pedro?
  • La cantidad comparada y crecer: Isabel tiene 11 canicas. Si Pedro gana 7 canicas tendrá tantas como Isabel. ¿Cuantas canicas tiene Pedro?
  • La cantidad comparada y decrecer: Pedro tiene 4 canicas. Si Isabel pierde 7 canicas tendrá tantas como Pedro. ¿Cuantas canicas tiene Isabel?
  • La cantidad de referencia y crecer: Pedro tiene 4 canicas. Si gana 7 canicas tendrá tantas como Isabel. ¿Cuantas canicas tiene María?
  • La cantidad de referencia y decrecer: Isabel tiene 11 canicas. Si pierde 7 canicas tendrá tantas como Pedro. ¿Cuantas canicas tiene Pedro?

Problemas de estructura multiplicativa o problemas multiplicativos

Son problemas relacionados con la multiplicación y la división. Para saber más sobre los tipos de problemas puedes encontrar más información aquí.

Estrategias para la resolución de problemas

Las estrategias que usan los niños para resolver problemas de estructuras aditivas o multiplicativas son de tres tipos diferentes en cada caso, y son correlativas en el desarrollo.

Estrategias para la resolver problemas aditivos

Estrategias de modelación directa

La modelación directa consiste en utilizar objetos o los dedos para representar los elementos de los conjuntos y ejecutar con ellos las acciones descritas en el problema.

Para las estrategias de la suma encontramos:

  • Contar todos: Representar los dos conjuntos con los objetos o dedos y unirlos, contando los elementos del conjunto resultante.

Como estrategias para la resta hay cinco estrategias:

  • Separar desde: Representar la cantidad mayor mediante objetos o los dedos y, después separar la cantidad menor, contar los elementos del conjunto resultante.
  • Separar hasta: Representar la cantidad mayor y separar objetos hasta que el conjunto resultante de la cantidad menor (sustraendo). Luego contar los objetos que se han separado o quitado.
  • Añadir hasta: Consiste en representar la cantidad menor y después añadir objetos tantos hasta que alcance la cantidad mayor. Luego se cuentan los objetos añadidos.
  • Emparejar: Consiste en representar los dos conjuntos y establecer una correspondencia uno a uno. Luego se cuentan los elementos sin parejas.
  • Ensayo y error: Partir de una cantidad inicial arbitraria (que es la solución) y realizan los pasos indicados en el problema, hasta que la solución coincida con el resultado del enunciado. Este tipo de estrategia se usa cuando la incógnita es la cantidad inicial.

Estrategias de contar

El uso de estas estrategias indica que el alumno no necesita construir la secuencia completa para contar. No debemos confundirla con las estrategias de modelacion directa. Veamos un ejemplo: Isabel tiene 5 canicas y Pedro le da 2 más ¿Cuántas canicas tiene ahora?. Si el niño levanta 5 dedos de una mano y 2 de la otra, y luego cuenta todos los dedos levantados empezando por uno, es modelación directa. Si en cambio, si dice 5 y a partir de ahi cuenta 6 y 7, levantando un dedo cada vez es una estrategia de contar.

En los problemas de sumas las estrategias de este tipo son:

  • Contar desde el primero: Realizar el recuento comenzando por el número que aparece en el problema y seguir la secuencia de conteo hasta completar el segundo sumando. Es una evolución de la estrategia contar todos.
  • Contar desde el mayor: El recuento comienza con el sumando mayor y sigue la secuencia de conteo con el menor. Es una evolución de la estrategia anterior.

En los problemas de restas las estrategias de este tipo son:

  • Contar hasta: Contar hacia delante partiendo del número más pequeño hasta llegar al número más grande. La solución se obtiene al contar el número de elementos desde el primer número hasta el segundo. Es una evolución de añadir hasta.
  • Contar hacia atrás desde: Comenzando desde el número mayor, contar hacia atrás el número menor. Luego contar el número de pasos. Esta y la siguiente estrategia son una evolución de separar desde de la modelación directa.
  • Contar hacia atrás hasta: Consiste en contar hacia atrás empezando por número mayor hasta llegar al nº menor. Luego cuenta los elementos de la secuencia.

Estrategias de hechos numéricos

Un hecho numérico es una relación de números. Por ejemplo combinaciones numéricas que dan como resultado 10 o los dobles. Estas estrategias se basan en conocer las relaciones entre los números.

Estrategias para resolver problemas multiplicativos

De igual forma existen tres tipos de estrategias.

Estrategias de modelación directa

Consiste en usar objetos para representar los conjuntos y modelar las acciones.

Estrategias para resolver problemas de multiplicación:

  • Agrupamiento: Consiste en formar conjuntos, cada uno con igual nº de elementos y luego contar el total de elementos.

Para resolver problemas de división, hay dos estrategias:

  • Medida: Consiste en coger tantos objetos como indique el número total dado y formar con ellos grupos iguales. Finalmente se cuenta el número de grupo formados.
  • Reparto: Consiste en coger tantos objetos como indique el número total dado y repartirlos equitativamente entre el nº de grupos, para luego contar los elementos correspondientes a cada grupo. Como podemos leer, esta estrategia y la anterior son para dos tipos diferentes de problemas.

Estrategias basadas en el conteo, la suma y la resta

Son estrategias que sustituyen progresivamente las anteriores.

  • Conteo a saltos: Contar hacia delante de 2 en 2, de 3 en 3… Se usa para multiplicación y división.
  • Suma reiterada: Similar a la anterior pero en lugar de saltos, se realiza una suma repetida. Se usa con la multiplicación.
  • Conteo hacia atrás a saltos: Se cuenta el número de partida dando saltos hasta el número de llegada. Se usa con la división.
  • Resta reiterada: Similar a la anterior, pero en vez dar saltos se realiza una resta reiterada.
  • Ensayo y error: Estimar el resultado mediante saltos, suma o resta reiterada.

Estrategias de hechos derivados

Los estudiantes aprenden algunos hechos antes que las tablas de multiplicar. Por ejemplo los dobles, triples…

Bibliografía

  • https://www.orientacionandujar.es/2017/10/27/tipologia-ejemplos-niveles-secuenciacion-problemas-primaria/
  • https://sites.google.com/a/polavide.es/abn-olavide/resolucion-de-problemas/ejemplo-de-problemas-tipo-para-los-diferentes-niveles-de-primaria
  • https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/7448987.pdf
  • https://www.redalyc.org/jatsRepo/771/77145288008/html/index.html
  • https://www.uv.es/puigl/lpae3.pdf

Autora del artículo: Virginia Pindado González, 2019

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3 comentarios en “Problemas aditivos y multiplicativos. Estrategias cognitivas.

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